Den lengste siden i en rettvinklet trekant, motsatt den rette vinkelen.

⑨ Trekanter

Q: Hvordan husker jeg sin, cos og tan?

Bruk setningen: Se Mot Himmelen – Cos Hopper Høyt – Tangens Møter Hav.

Pythagoras og trigonometri (sin, cos, tan) er blant de mest brukte verktøyene i matematikken. Fyll inn to verdier i løseren nedenfor — resten regnes ut med én gang.

Kort svar: hva er en trekant?

En trekant er en figur med tre sider og tre vinkler. Vinkelsummen er alltid 180°, og i rettvinklede trekanter kan vi bruke Pythagoras, sinus, cosinus og tangens.

Trekanten er den geometriske grunnsteinen i menneskelig byggeri og navigasjon gjennom hele historien. Egypterne brukte 3-4-5-trekanten (et kjent eksempel på Pythagoras' setning) for å måle opp rette vinkler når de bygde pyramidene. Den greske matematikeren Hipparchus regnes som trigonometriens far — rundt 150 f.Kr. laget han de første kjente trigonometriske tabellene, brukt til å beregne planeters baner.

I dag er trekanter og trigonometri skjult i nesten all teknologi vi bruker. Hvert 3D-objekt i et dataspill eller en animasjonsfilm er bygget opp av millioner av trekanter som datamaskinen tegner og roterer med trigonometri. Lydingeniører bruker sinus- og cosinusfunksjoner for å analysere og filtrere lyd. Og flynavigasjon, skipsfart og satellittkommunikasjon er alle avhengige av presisjonsberegninger basert på trekantens egenskaper.

📐 Trekantløser – fyll inn 2 verdier, få resten

Skriv inn to størrelser. Trekanten tegnes og alle formler vises automatisk.
a er vinkelen overfor a · ß er vinkelen overfor b · 90° er overfor c (hypotenusen)

a (katet) b (katet) c (hypotenus) a (grader) ß (grader)

Fyll inn to verdier — formler og tegning dukker opp her.

Pythagoras

I en rettvinklet trekant gjelder en av matematikkens vakreste sammenhenger: kvadratet av hypotenusen er lik summen av kvadratene av katetene.

Formel

$$ a^2 + b^2 = c^2 $$ der $a$ og $b$ er katetene (de korte sidene) og $c$ er hypotenusen (den lengste, motsatt den rette vinkelen).

Klassisk eksempel

$a = 3$ og $b = 4$ gir $c = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$. Dette kalles en 3-4-5-trekant.

Trigonometri – sinus, cosinus og tangens

I en rettvinklet trekant er forholdet mellom to sider knyttet til en av de spisse vinklene. Kall vinkelen $v$. Da:

Funksjon	Formel	Husk
$\sin v$	$\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hypotenus}}$	Se Mot Himmelen
$\cos v$	$\dfrac{\text{hosliggende katet}}{\text{hypotenus}}$	Cos Hopper Høyt
$\tan v$	$\dfrac{\text{motstående katet}}{\text{hosliggende katet}}$	Tangens Møter Hav

Huskeregel: Se Mot Himmelen – Cos Hopper Høyt – Tangens Møter Hav

Sin = Motstående / Hypotenus · Cos = Hosliggende / Hypotenus · Tangens = Motstående / Hosliggende

Eksempel

Hypotenus 10, vinkel 30°. Hva er motstående katet?
$\sin 30° = \dfrac{a}{10}$, og siden $\sin 30° = 0{,}5$, er $a = 10 \cdot 0{,}5 = 5$.

🎬 Film om enhetssirkelen

Enhetssirkelen viser hvordan sinus og cosinus henger sammen med vinkler og koordinater.

Video: Tom Jarle Christiansen / CC BY-SA 4.0 · Hentet fra NDLA.no

Steg for steg: finn hypotenusen når katetene er 6 og 8

Skriv opp Pythagoras: $a^2 + b^2 = c^2$.

Steg for steg: finn vinkelen når motstående er 5 og hypotenusen er 10

Vi har motstående side og hypotenusen — det matcher sinus: $\sin v = \dfrac{\text{motstående}}{\text{hypotenus}}$.

🧠 Test deg selv – regn ut og skriv svaret

Fem oppgaver. Skriv inn svaret og sjekk — du får poeng for riktig svar.

1. En rettvinklet trekant har katetene a = 3 og b = 4. Hva er hypotenusen c?

2. Hypotenus c = 13, katet a = 5. Hva er katet b?

3. Motstående katet = 5, hypotenus = 10. Hva er vinkelen a (i grader)?
Tips: a = arcsin(motstående/hypotenus)

4. Vinkel a = 53,13°, hypotenus = 10. Hva er motstående katet a?
Tips: a = sin(a) × c

5. En likebenet rettvinklet trekant — begge kateter like lange. Hva er den spisse vinkelen a (i grader)?

Sjekk deg selv

Finn hypotenusen når katetene er 6 og 8

Svar: 10. $6^2 + 8^2 = 100$, så hypotenusen er $\sqrt{100}$.

I en rettvinklet trekant er motstående 5 og hypotenus 13. Hva er $\sin v$?

Svar: $\frac{5}{13}$.

Hva er $\tan v$ når motstående er 4 og hosliggende er 3?

Svar: $\frac{4}{3}$.

Quiz

Vanlige spørsmål

Hva er Pythagoras' setning?

I en rettvinklet trekant er kvadratet av hypotenusen lik summen av kvadratene av katetene: $a^2 + b^2 = c^2$.

Hvordan husker jeg sin, cos og tan?

Bruk setningen: Se Mot Himmelen – Cos Hopper Høyt – Tangens Møter Hav. Sin = Motstående/Hypotenus, Cos = Hosliggende/Hypotenus, Tan = Motstående/Hosliggende.

Hva er hypotenusen?

Den lengste siden, alltid motsatt den rette vinkelen (90°).

Når bruker jeg sin, cos eller tan?

Har du motstående og hypotenus → sin. Hosliggende og hypotenus → cos. Motstående og hosliggende → tan.

Kan Pythagoras brukes i ikke-rettvinklete trekanter?

Nei. For andre trekanter bruker vi cosinus-setningen: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$.