⑦ Ligningssett
Et ligningssett er flere ligninger som skal stemme samtidig. Målet er å finne verdier for de ukjente, ofte $x$ og $y$, som passer i alle ligningene på én gang.
Kort svar: hvordan løse ligningssett?
Du kan løse ligningssett med innsettingsmetoden eller addisjonsmetoden. Innsetting er best når en variabel står alene. Addisjon er best når én variabel kan fjernes ved å legge sammen eller trekke fra ligningene.
Arbeidsmåte: fra tekst til ligningssett
Mange oppgaver starter som tekst. Da er det viktigste ikke å regne fort, men å oversette situasjonen ryddig.
Eksempel: billettpriser
En familie med 3 barn og 2 voksne betaler 380 kr. En annen familie med 4 barn og 3 voksne betaler 540 kr. Hva koster en barnebillett og en voksenbillett?
Ligningssett: hva betyr løsningen?
Løsningen er punktet der begge ligningene er sanne. Hvis ligningene tegnes som grafer, er løsningen skjæringspunktet mellom linjene.
Innsettingsmetoden steg for steg
Innsettingsmetoden går ut på å gjøre én ligning om slik at én variabel står alene, og deretter sette uttrykket inn i den andre ligningen.
Addisjonsmetoden steg for steg
Addisjonsmetoden går ut på å legge sammen eller trekke fra ligningene slik at én variabel forsvinner.
Når bruker du hvilken metode?
| Situasjon | Beste valg | Hvorfor |
|---|---|---|
| En variabel står alene, for eksempel $y=2x+1$ | Innsettingsmetoden | Du kan sette uttrykket rett inn i den andre ligningen |
| Du har $+y$ i én ligning og $-y$ i den andre | Addisjonsmetoden | $y$ forsvinner når du legger sammen |
| Koeffisientene kan gjøres like, for eksempel $2x$ og $4x$ | Addisjonsmetoden | Gang én ligning først, så fjern variabelen |
| Det er brøker eller desimaltall | Rydd opp først | Gang bort brøker før du velger metode |
Eksempel med addisjonsmetoden
Her passer addisjonsmetoden ekstra godt, fordi $+y$ og $-y$ forsvinner direkte når vi legger sammen ligningene.
Grafisk løsning
Et ligningssett kan også løses grafisk. Da tegner du begge ligningene i samme koordinatsystem. Skjæringspunktet er løsningen.
2. Tegn grafene i samme koordinatsystem.
3. Les av punktet der grafene møtes.
Grafisk løsning er spesielt nyttig for å forstå hva svaret betyr. Regning for hånd er ofte mer presist, mens grafen gir en god kontroll.
CAS og digitale verktøy
GeoGebra CAS eller en graftegner kan brukes til å kontrollere svaret. Det er likevel lurt å kunne metoden for hånd, fordi du da ser hva som faktisk skjer.
Løs({3x+2y=380, 4x+3y=540})
Ligningssett med tre ukjente
Noen oppgaver har tre ukjente. Da trenger du vanligvis tre ligninger. Prinsippet er det samme: finn verdier som gjør alle ligningene sanne samtidig.
Én, ingen eller uendelig mange løsninger
Et ligningssett trenger ikke alltid å ha nøyaktig én løsning. Grafisk handler det om hvordan linjene ligger i forhold til hverandre.
| Type | Grafisk | Eksempel |
|---|---|---|
| Én løsning | Linjene krysser hverandre | $\begin{cases}x+y=7\\x-y=1\end{cases}$ |
| Ingen løsning | Linjene er parallelle | $\begin{cases}y=2x+1\\y=2x-3\end{cases}$ |
| Uendelig mange løsninger | Det er samme linje | $\begin{cases}y=2x+1\\2y=4x+2\end{cases}$ |
Vanlige feil
Glemmer parentes
Hvis $y=7-x$ settes inn i $2x-y=2$, må du skrive $2x-(7-x)=2$.
Bytter fortegn feil
Minus foran en parentes bytter fortegn på alt inni parentesen.
Stopper for tidlig
Når du har funnet $x$, må du fortsatt sette inn og finne $y$.
Sjekker ikke svaret
Sett både $x$ og $y$ inn i begge ligningene. Begge må stemme.