⑨ Derivasjon
Den deriverte forteller hvor bratt en graf er i et bestemt punkt. Vi skriver det som $f'(x)$. Brattheten er det samme som stigningstallet til tangenten i punktet.
Deriveringsregler
| $f(x)$ | $f'(x)$ | Forklaring |
|---|---|---|
| $c$ (konstant) | $0$ | En konstant endrer seg ikke |
| $x$ | $1$ | Stigningstallet til $y = x$ er 1 |
| $x^n$ | $n \cdot x^{n-1}$ | Potensregelen |
| $ax^2$ | $2ax$ | Spesialtilfelle av potensregelen |
| $ax + b$ | $a$ | Stigningstallet til en rett linje |
| $f + g$ | $f' + g'$ | Deriveres ledd for ledd |
Eksempel
Hvis $f(x) = 3x^2 + 4x - 7$, så er $f'(x) = 6x + 4$.
Topp- og bunnpunkter
I et toppunkt eller bunnpunkt er tangenten vannrett — altså er $f'(x) = 0$.
Oppskrift
1. Deriver funksjonen.2. Sett $f'(x) = 0$ og løs.
3. Sett inn $x$-verdien i $f(x)$ for å finne $y$-verdien til ekstremalpunktet.
Steg for steg: finn bunnpunkt for $f(x) = x^2 - 6x + 5$
1
Deriver: $f'(x) = 2x - 6$.
Quiz
Vanlige spørsmål
Hva betyr egentlig 'derivert'?
Det måler hvor fort funksjonen endrer seg. Hvis $f(x)$ er strekning over tid, er $f'(x)$ farten.
Når er den deriverte negativ?
Når funksjonen synker. Den deriverte er positiv når funksjonen stiger, og null der det er topp eller bunn.
Hva er forskjellen på et toppunkt og et bunnpunkt?
Begge har $f'(x) = 0$. Et toppunkt er det høyeste i et område (parabel som vender ned), bunnpunkt er det laveste (parabel som vender opp).
Hva er en tangent?
En rett linje som så vidt berører grafen i ett punkt. Stigningstallet til tangenten i et punkt er den deriverte i det punktet.