⑥ Ligninger
En ligning er to uttrykk satt lik hverandre. Vi vil finne verdien av variabelen som gjør at de stemmer.
Kort svar: hvordan løse en ligning?
Bruk likevektsprinsippet: gjør samme operasjon på begge sider av likhetstegnet til variabelen står alene. Hvis $3x+5=20$, trekker du først fra 5 og deler deretter på 3.
Ligninger er langt eldre enn det moderne matematikkfaget. Babylonske matematikere løste lineære og kvadratiske ligninger for over 3 700 år siden — funnet på leirtavler som er bevart til i dag. Metodene de brukte var i bunn og grunn de samme vi bruker nå, bare uten moderne notasjon. Ligninger oppstår naturlig overalt der en ukjent størrelse skal finnes ut fra kjente sammenhenger.
I praksis løser vi ligninger hele tiden uten å tenke over det. Når en sykepleier regner ut riktig dose av et medikament basert på pasientens vekt, løser hun en ligning. Når en ingeniør beregner hvor tykk en bro-søyle må være for å tåle belastningen, løser han en ligning. Til og med GPS-systemet i telefonen løser fire ligninger simultant for å finne eksakt posisjonen din — på brøkdelen av et sekund.
Hva betyr det å løse en ligning?
Å løse en ligning betyr å finne tallet som kan stå i stedet for bokstaven. Likhetstegnet er ikke en pyntestrek; det sier at venstre og høyre side har samme verdi.
Den gylne regelen
Det du gjør på den ene siden av likhetstegnet, må du gjøre på den andre.
Målet er å få variabelen alene. Da bruker vi omvendte operasjoner i motsatt rekkefølge: pluss fjernes med minus, gange fjernes med deling, og parenteser ryddes opp før vi samler ledd.
Verktøykassa: omvendte operasjoner
Pluss og minus
Flytt bort tallet som står sammen med $x$.
$x + 7 = 15 \Rightarrow x = 8$Gange og dele
Hvis $x$ er ganget med et tall, deler du på samme tall.
$4x = 28 \Rightarrow x = 7$Parenteser
Gang ut eller del bort faktoren før du samler ledd.
$2(x+3)=14 \Rightarrow x=4$Brøk
Gang med nevneren for å bli kvitt brøken.
$\frac{x}{5}=6 \Rightarrow x=30$Fire vanlige typer førstegradsligninger
| Type | Strategi | Eksempel |
|---|---|---|
| $x$ pluss/minus tall | Gjør motsatt regneart | $x - 9 = 4 \Rightarrow x = 13$ |
| Tall ganger $x$ | Del på tallet foran $x$ | $6x = 42 \Rightarrow x = 7$ |
| $x$ på begge sider | Samle $x$-ledd på én side | $5x - 3 = 2x + 9 \Rightarrow 3x = 12$ |
| Parentes eller brøk | Rydd opp først | $3(x-2)=12 \Rightarrow x=6$ |
Steg for steg: $x$ på begge sider
Når bokstaven finnes på begge sider, samler vi alle $x$-leddene på én side og tallene på den andre.
Sjekk alltid svaret
Den raskeste måten å oppdage en slurvefeil på er å sette svaret inn i den opprinnelige ligningen.
Videre: ligningssett
Når to ligninger skal stemme samtidig, bruker vi et ligningssett. Det har nå fått en egen side med innsettingsmetoden, addisjonsmetoden, metodevalg og flere eksempler.
Fra tekst til ligning
Mange oppgaver blir lettere når du først bestemmer hva bokstaven skal bety. Skriv gjerne en liten setning før du regner.
Oppgave
Et kinobesøk koster 80 kr i billett pluss 25 kr per snacks. Du betaler 180 kr totalt. Hvor mange snacks kjøpte du?
Løsning
$$80 + 25x = 180$$ $$25x = 100$$ $$x = 4$$Du kjøpte 4 snacks. Enheten hører med i svaret; $x=4$ alene er bare halve historien.
Én, ingen eller uendelig mange løsninger
Ikke alle ligninger oppfører seg likt. Noen har ett svar, noen har ingen, og noen er sanne uansett hvilken verdi $x$ har.
| Hva skjer? | Eksempel | Hva betyr det? |
|---|---|---|
| Én løsning | $2x + 3 = 11$ | Bare $x = 4$ gjør ligningen sann. |
| Ingen løsning | $2x + 3 = 2x + 8$ | Du ender med $3 = 8$, som er umulig. |
| Uendelig mange | $2(x+3)=2x+6$ | Du ender med $6 = 6$, som alltid er sant. |