④ Potenser og kvadratrøtter
En potens er gjentatt multiplikasjon. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. En kvadratrot er det motsatte: $\sqrt{9} = 3$ fordi $3 \cdot 3 = 9$.
Potensreglene
| Regel | Eksempel |
|---|---|
| $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ |
| $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$ |
| $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(3^2)^3 = 3^6 = 729$ |
| $a^0 = 1$ | $7^0 = 1$ |
| $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $2^{-3} = \frac{1}{8}$ |
| $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | $(2 \cdot 3)^2 = 4 \cdot 9 = 36$ |
Kvadratrøtter
Kvadratroten av et tall $a$ er det positive tallet som ganget med seg selv blir $a$. Kvadratroten kan også skrives som potens: $\sqrt{a} = a^{1/2}$.
Eksempel
$$\sqrt{16} = 4 \quad \sqrt{25} = 5 \quad \sqrt{2} \approx 1{,}41$$
Regel
$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$, så $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$.
Steg for steg: forenkle $\frac{a^5 \cdot a^2}{a^3}$
1
Slå sammen multiplikasjonen i telleren: $a^5 \cdot a^2 = a^{5+2} = a^7$.
Quiz
Vanlige spørsmål
Hva betyr egentlig $a^0 = 1$?
Det følger av regelen $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$. Hvis $m = n$ blir det $\frac{a^m}{a^m} = a^0$, og siden brøken er 1, må $a^0 = 1$.
Hva er en negativ eksponent?
$a^{-n}$ betyr $\frac{1}{a^n}$. Negativ eksponent er ikke et negativt tall, men en invertering.
Kan kvadratroten være negativ?
Når vi snakker om hovedkvadratroten ($\sqrt{}$-tegnet) er den alltid positiv. Men ligningen $x^2 = 9$ har to løsninger: $x = 3$ og $x = -3$.
Hvorfor er $\sqrt{2}$ irrasjonalt?
Det betyr at det ikke kan skrives som en eksakt brøk. Desimaltallet fortsetter for evig uten gjentakelse: $\sqrt{2} \approx 1{,}41421356\ldots$