④ Potenser og kvadratrøtter
En potens er gjentatt multiplikasjon. $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$. En kvadratrot er det motsatte: $\sqrt{9} = 3$ fordi $3 \cdot 3 = 9$.
Ideen om å skrive gjentatt multiplikasjon med en eksponent stammer fra antikkens matematikere, men det var René Descartes som på 1600-tallet populariserte notasjonen vi bruker i dag — x², x³ og så videre. Arkimedes hadde allerede på 200-tallet f.Kr. utviklet et system for å beskrive astronomisk store tall i verket «Sandregneren», der han forsøkte å beregne hvor mange sandkorn som ville fylle universet.
Potenser er uunnværlige når tall enten blir veldig store eller veldig små. Lysets hastighet er $3 \cdot 10^8$ m/s, en vanlig bakterie er rundt $10^{-6}$ meter stor, og en terabyte lagringsplass er omtrent $2^{40}$ byte. I økonomi er potenser grunnlaget for renters-rente-beregninger: det er derfor 7 % avkastning over 30 år ikke gir 210 %, men nesten 760 % — eksponentiell vekst er mye kraftigere enn intuitiv lineær tenkning.
Grunntall og eksponent
En potens består av to deler. Grunntallet er tallet som gjentas, og eksponenten forteller hvor mange ganger det skal ganges med seg selv.
🎬 Film om tierpotenser
Filmen viser hvordan potenser med grunntall 10 gjør store og små tall enklere å skrive og forstå.
Video: Tierpotenser, av Christiansen, T. J. CC BY-NC-SA 4.0.
Potensreglene
| Regel | Eksempel |
|---|---|
| $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$ | $2^3 \cdot 2^4 = 2^7 = 128$ |
| $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ | $\frac{5^6}{5^2} = 5^4 = 625$ |
| $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ | $(3^2)^3 = 3^6 = 729$ |
| $a^0 = 1$ | $7^0 = 1$ |
| $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ | $2^{-3} = \frac{1}{8}$ |
| $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ | $(2 \cdot 3)^2 = 4 \cdot 9 = 36$ |
Kvadratrøtter
Kvadratroten av et tall $a$ er det positive tallet som ganget med seg selv blir $a$. Kvadratroten kan også skrives som potens: $\sqrt{a} = a^{1/2}$.
Røtter som potenser
Røtter og potenser er samme familie. En kvadratrot er en potens med eksponent $\frac12$, og en tredjerot er en potens med eksponent $\frac13$.
Kvadratrot
Hvilket tall ganget med seg selv gir tallet under rottegnet?
$\sqrt{36}=36^{1/2}=6$Tredjerot
Hvilket tall ganget med seg selv tre ganger gir tallet?
$\sqrt[3]{27}=27^{1/3}=3$Brøkeksponent
Nevneren sier hvilken rot, telleren sier hvilken potens.
$27^{2/3}=(\sqrt[3]{27})^2=9$Steg for steg: forenkle $\frac{a^5 \cdot a^2}{a^3}$
Standardform: store og små tall uten null-kaos
Standardform brukes når tall blir så store eller små at nullene tar over. Formen er alltid $a \cdot 10^n$, der $1 \leq a < 10$.
🎬 Film om standardform
Filmen forklarer hvordan tall skrives på formen $a \cdot 10^n$, og hvorfor det er nyttig når tallene blir veldig store eller veldig små.
Video: Standardform, av Christiansen, T. J. CC BY-NC-SA 4.0.